Представление положительных и отрицательных чисел в памяти компьютера. Прямой и дополнительный код числа

Прямой код

Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1.

Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например:

0 0001101 – положительное число
1 0001101 – отрицательное число

Количество значений, которые можно поместить в семиразрядной ячейке со знаком в дополнительном разряде равно 256. Это совпадает с количеством значений, которые можно поместить в восьмиразрядную ячейку без указания знака. Однако диапазон значений уже другой, ему принадлежат значения от -128 до 127 включительно (при переводе в десятичную систему счисления).

При этом в вычислительной технике прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел.

Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Это связано с удобством выполнения операций над числами электронными устройствами компьютера.

Дополнительный код

В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом.

Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.

Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:

1 1110011 + 1 = 1 1110100

В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.

Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в прямом коде

Прямой код числа 5: 0 000 0101
Прямой код числа -7: 1 000 0111
Два исходных числа сравниваются. В разряд знака результата записывается знак большего исходного числа.
Если числа имеют разные знаки, то вместо операции сложения используется операция вычитания из большего по модулю значения меньшего. При этом первый (знаковый) разряд в операции не участвует.

Delphi/Pascal

_ 000 0111 000 0101 ------------- 000 0010

1
2
3
4

    _ 000 0111
      000 0101
    -------------
      000 0010
После выполнения операции учитывается первый разряд. Результат операции 1 000 0010, или -2₁₀.

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в дополнительном коде

Прямой код числа 5: 0 000 0101
Прямой код числа -7: 1 000 0111
Формирование дополнительного кода числа -7.
Прямой код : 1 000 0111
Инверсия : 1 111 1000
Добавление единицы: 1 111 1001
Операция сложения.

Delphi/Pascal

0 000 0101 + 1 111 1001 -------------- 1 111 1110

1
2
3
4

      0 000 0101
    + 1 111 1001
      --------------
      1 111 1110
Проверка результата путем преобразования к прямому коду.
Дополнительный код: 1 111 1110
Вычитание единицы : 1 111 1101
Инверсия : 1 000 0010 (или -2₁₀)

Примеры из проекта

function GetDirectInteger(const s: AnsiString): extended;
var
  i, len: integer;
  mn: extended;
  p: Int64;
begin
  len := Length(s);
  Assert(len > 0);
  if len < 8 then
  begin
    p := 0;
    Move(s[1], p, len);
    Result := p;
  end
  else
  begin
    Result := Ord(s[1]);
    mn := 1;
    for i := 2 to len do
    begin
      mn := mn * 256;
      Result := Result + mn * Ord(s[i]);
    end;
  end;
end;

function GetDirectSignedInteger(const s: AnsiString): extended;
var
  i, len: integer;
  mn: extended;
  p: Int64;
begin
  len := Length(s);
  Assert(len > 0);
  if len < 8 then
  begin
    p := 0;
    Move(s[1], p, len);
    if ord(s[len]) shr 7 = 1 then // Îáðàáîòêà îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà, åñëè ñòàðøèé áèò ðàâåí 1
      Result := -((int64(1) shl (len * 8)) - p)
    else
      Result := p; // Èíà÷å ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî
  end
  else
  begin
    Result := Ord(s[1]);
    mn := 1;
    for i := 2 to len do
    begin
      mn := mn * 256;
      Result := Result + mn * Ord(s[i]);
    end;
  end;
end;

function GetDirectInteger(const s: AnsiString): extended;

var

i, len: integer;

mn: extended;

p: Int64;

begin

len := Length(s);

Assert(len > 0);

if len < 8 then

begin

p := 0;

Move(s[1], p, len);

Result := p;

end

else

begin

Result := Ord(s[1]);

mn := 1;

for i := 2 to len do

begin

mn := mn * 256;

Result := Result + mn * Ord(s[i]);

end;

function GetDirectSignedInteger(const s: AnsiString): extended;

var

i, len: integer;

mn: extended;

p: Int64;

begin

len := Length(s);

Assert(len > 0);

if len < 8 then

begin

p := 0;

Move(s[1], p, len);

if ord(s[len]) shr 7 = 1 then // Îáðàáîòêà îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà, åñëè ñòàðøèé áèò ðàâåí 1

Result := -((int64(1) shl (len * 8)) - p)

else

Result := p; // Èíà÷å ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî

end

else

begin

Result := Ord(s[1]);

mn := 1;

for i := 2 to len do

begin

mn := mn * 256;

Result := Result + mn * Ord(s[i]);

end;

Источник

Также по теме – порядок чтения байтов.

Представление положительных и отрицательных чисел в памяти компьютера. Прямой и дополнительный код числа

Прямой код

Дополнительный код

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в прямом коде

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в дополнительном коде

MY PROJECTS

Recent Posts

Categories